Área De Terreno Retangular Expressão E Gráfico

Introdução

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Hoje vamos explorar um problema super interessante de matemática que envolve geometria e álgebra. Vamos calcular a área de um terreno retangular e, em seguida, representar graficamente como essa área varia em função de uma das dimensões. Parece complicado? Relaxa! Vamos descomplicar tudo juntos.

Neste artigo, vamos abordar a seguinte questão: Qual é a expressão que representa a área de um terreno retangular com dimensões de (2 - x) metros e (x + 4) metros, e como podemos representar graficamente a relação entre x e a área y desse terreno? Para responder a essa pergunta, vamos mergulhar no mundo dos polinômios e das funções quadráticas. Preparem-se para uma jornada matemática cheia de descobertas!

Expressão Algébrica da Área

Para começar, vamos entender como calcular a área de um retângulo. A fórmula básica é simples: Área = base * altura. No nosso caso, a base é (x + 4) metros e a altura é (2 - x) metros. Então, para encontrar a expressão que representa a área (y) do terreno, precisamos multiplicar essas duas dimensões:

y = (2 - x) * (x + 4)

Agora, vamos expandir essa expressão usando a propriedade distributiva, também conhecida como o famoso “chuveirinho”. Multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo parêntese:

y = 2 * x + 2 * 4 - x * x - x * 4

Simplificando, temos:

y = 2x + 8 - x² - 4x

Para deixar a expressão mais organizada, vamos rearranjar os termos em ordem decrescente das potências de x:

y = -x² - 2x + 8

Pronto! Chegamos à expressão algébrica que representa a área do terreno em função de x. Essa expressão é uma função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola. Mas, ei, o que isso significa na prática? Vamos explorar isso na próxima seção!

Entendendo a Função Quadrática

A função que encontramos, y = -x² - 2x + 8, é uma função quadrática porque o termo de maior grau é x². Funções quadráticas têm algumas características importantes que nos ajudam a entender o comportamento da área do terreno:

• Coeficiente do termo x²: O coeficiente do termo x² é -1, que é um número negativo. Isso significa que a parábola que representa a função tem concavidade para baixo, ou seja, ela se abre para baixo. Isso indica que a área do terreno tem um valor máximo.
• Raízes da função: As raízes da função são os valores de x para os quais y = 0. Em termos práticos, são os valores de x para os quais a área do terreno é zero. Para encontrar as raízes, precisamos resolver a equação -x² - 2x + 8 = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara para isso, mas vamos guardar esse cálculo para mais tarde.
• Vértice da parábola: O vértice da parábola é o ponto onde a função atinge seu valor máximo (ou mínimo, se a concavidade fosse para cima). No nosso caso, como a concavidade é para baixo, o vértice representa a área máxima que o terreno pode ter. Para encontrar as coordenadas do vértice, vamos precisar de um pouco mais de álgebra, mas prometo que vai valer a pena!

Representação Gráfica da Relação entre x e a Área y

Agora que temos a expressão algébrica da área, vamos visualizar como a área (y) varia em função de x. Para isso, vamos construir um gráfico. Mas, calma aí! Antes de pegar no lápis e no papel (ou abrir um software de plotagem), vamos entender alguns pontos importantes.

Criando uma Tabela de Valores

Uma forma de construir o gráfico é criar uma tabela de valores. Atribuímos diferentes valores para x e calculamos o valor correspondente de y usando a expressão y = -x² - 2x + 8. Vamos escolher alguns valores para x que sejam relevantes para o nosso problema. Lembrando que x representa uma dimensão do terreno, então não podemos ter valores negativos ou muito grandes que tornem as dimensões negativas.

x (metros)	y (metros quadrados)
-5	-7
-4	0
-3	5
-2	8
-1	9
0	8
1	5
2	0
3	-7

Plotando os Pontos no Gráfico

Com a tabela de valores em mãos, podemos plotar os pontos no plano cartesiano. O eixo horizontal representa os valores de x, e o eixo vertical representa os valores de y. Cada par (x, y) da tabela corresponde a um ponto no gráfico.

Se você plotar esses pontos, vai perceber que eles formam uma curva com formato de “U” invertido. Essa curva é a nossa parábola! Ela representa graficamente a relação entre x e a área y do terreno.

Analisando o Gráfico

O gráfico nos dá muitas informações valiosas sobre o problema:

• Intersecções com o eixo x: Os pontos onde a parábola cruza o eixo x são as raízes da função. No nosso caso, as raízes são x = -4 e x = 2. Isso significa que, quando x é igual a -4 ou 2, a área do terreno é zero. Mas, ei, como uma dimensão pode ser negativa? 🤔 No mundo real, não pode! Isso significa que o valor x = -4 não faz sentido no nosso problema. Já o valor x = 2 indica que, quando uma das dimensões do terreno é zero (2 - x = 0), a área também é zero.
• Intersecção com o eixo y: O ponto onde a parábola cruza o eixo y é o valor de y quando x = 0. No nosso caso, a intersecção é y = 8. Isso significa que, quando x = 0, a área do terreno é 8 metros quadrados.
• Vértice da parábola: O vértice é o ponto mais alto da parábola (já que ela tem concavidade para baixo). Ele representa o valor máximo da área do terreno. Observando o gráfico, parece que o vértice está próximo do ponto (-1, 9). Isso significa que a área máxima do terreno é de aproximadamente 9 metros quadrados, e isso acontece quando x é próximo de -1. Mas, ei, espera aí! X não pode ser negativo, certo? Vamos investigar isso mais a fundo!

Encontrando o Vértice da Parábola

Para encontrar as coordenadas exatas do vértice da parábola, vamos usar um pouco de álgebra. A coordenada x do vértice (xv) pode ser calculada pela fórmula:

xv = -b / 2a

Onde a e b são os coeficientes da função quadrática y = ax² + bx + c. No nosso caso, a = -1 e b = -2. Substituindo na fórmula, temos:

xv = -(-2) / (2 * -1) = 2 / -2 = -1

Ops! Encontramos xv = -1, como já havíamos observado no gráfico. Mas, como dissemos antes, x não pode ser negativo no nosso problema, já que representa uma dimensão do terreno. Isso significa que o valor máximo da área não ocorre exatamente no vértice da parábola, mas sim em um ponto próximo, dentro do intervalo de valores de x que fazem sentido para o nosso problema.

Para encontrar a coordenada y do vértice (yv), substituímos xv na função:

yv = -(-1)² - 2 * (-1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9

Então, o vértice da parábola é o ponto (-1, 9). Mas, como x = -1 não é uma solução válida para o nosso problema, precisamos analisar o intervalo de valores de x que fazem sentido.

Restrições no Valor de x

Lembre-se que as dimensões do terreno são (2 - x) e (x + 4). Para que essas dimensões sejam positivas (já que não podemos ter dimensões negativas), precisamos ter:

• 2 - x > 0
• x + 4 > 0

Resolvendo essas desigualdades, temos:

• x < 2
• x > -4

Então, o valor de x deve estar entre -4 e 2. Como x não pode ser negativo no nosso problema, o intervalo relevante para x é 0 <= x < 2. Isso significa que o valor máximo da área ocorre quando x está o mais próximo possível de -1, dentro desse intervalo. Ou seja, quando x = 0.

Área Máxima do Terreno

Para encontrar a área máxima do terreno, substituímos x = 0 na expressão da área:

y = -0² - 2 * 0 + 8 = 8

Portanto, a área máxima do terreno é de 8 metros quadrados, e isso acontece quando x = 0.

Conclusão

Ufa! Chegamos ao fim da nossa jornada matemática. Descobrimos que a expressão que representa a área do terreno retangular é y = -x² - 2x + 8, e representamos graficamente essa relação usando uma parábola. Aprendemos que o gráfico nos dá muitas informações sobre o problema, como as raízes da função e o vértice da parábola.

Exploramos também as restrições no valor de x e descobrimos que a área máxima do terreno é de 8 metros quadrados, e isso acontece quando x = 0. Vimos como a matemática pode nos ajudar a resolver problemas práticos do dia a dia, como calcular a área de um terreno.

Espero que tenham gostado dessa aventura matemática! Se tiverem alguma dúvida ou quiserem explorar outros problemas, deixem um comentário. Até a próxima!