Разбор И Упрощение Алгебраического Выражения (x-2y)/(x^2+2xy) (1/(x^2-4y^2)) * (x+2y)/(2y-x)^2
Привет, друзья! Сегодня мы разберем интересное алгебраическое выражение. Это может показаться сложным на первый взгляд, но мы разложим его на части и увидим, что все не так уж и страшно. Погружаемся!
Первоначальный вид выражения
Наше исходное выражение выглядит так:
(x-2y)/(x^2+2xy) : (1/(x2-4y2)) * (x+2y)/(2y-x)^2 = (x+2y)2/(4y2)
Давайте пройдемся по каждому элементу, чтобы убедиться, что мы все понимаем. В левой части у нас есть деление, умножение и несколько дробей. Наша задача - упростить все это и доказать, что результат действительно равен правой части выражения.
Подготовка к упрощению
Прежде чем начать упрощение, важно заметить несколько ключевых моментов. Во-первых, у нас есть разность квадратов (x2-4y2), которую мы можем разложить. Во-вторых, у нас есть выражение (2y-x), которое похоже на (x-2y), но с обратным знаком. Это тоже может быть полезно при упрощении. В-третьих, в знаменателях есть общие множители, которые можно вынести за скобки. Давайте начнем!
Шаг 1: Разложение на множители и упрощение первой дроби
Первый шаг – упростим первую дробь: (x-2y)/(x^2+2xy). В знаменателе можно вынести x за скобки:
(x-2y) / (x(x+2y))
Здесь мы видим, что числитель (x-2y) и знаменатель x(x+2y) не имеют общих множителей, поэтому эта дробь уже максимально упрощена.
Важность разложения на множители
Разложение на множители – это один из самых важных приемов в алгебре. Он позволяет увидеть общие множители в числителе и знаменателе, которые можно сократить. Это значительно упрощает выражение и делает его более понятным. В нашем случае, вынесение x за скобки в знаменателе – это первый шаг к упрощению всего выражения.
Шаг 2: Упрощение второй дроби
Теперь рассмотрим вторую дробь: 1/(x2-4y2). Здесь у нас есть разность квадратов. Вспоминаем формулу: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Применим ее к нашему случаю:
x^2 - 4y^2 = (x-2y)(x+2y)
Таким образом, наша дробь теперь выглядит так:
1 / ((x-2y)(x+2y))
Разность квадратов: наш друг в алгебре
Формула разности квадратов – это как волшебная палочка для алгебраических выражений. Она позволяет нам разложить сложные выражения на более простые множители. В данном случае, она помогла нам увидеть, что знаменатель второй дроби содержит множители, которые могут сократиться с другими частями выражения.
Шаг 3: Упрощение третьей дроби
Третья дробь: (x+2y)/(2y-x)^2. Здесь у нас есть квадрат разности в знаменателе. Заметим, что (2y-x) – это то же самое, что -(x-2y). Поэтому мы можем переписать знаменатель так:
(2y-x)^2 = (-(x-2y))^2 = (x-2y)^2
Теперь наша дробь выглядит так:
(x+2y) / (x-2y)^2
Работа с отрицательными знаками
Важно помнить, что возведение в квадрат
